• Titularizare
  • Subiecte titularizare 2023

Subiecte titularizare matematica 2023 - Profesori: Modele de teste REZOLVATE

 Subiecte titularizare matematica. $\nabla \nabla$ Vezi mai jos teste rezolvate de matematica pentru reusita la examenul de titularizare $\nabla \nabla$

Model de subiect REZOLVAT pentru examenul de titularizare matematica - Profesori 2023

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. Se da ecuatia $m{\cos }^2 x-2\left(m-1\right)\cos x+m+1=0$, unde $m \in \mathrm{ℝ}$. 

 a) Aratati ca pentru $m=\frac{1}{2}$, ecuatia nu are solutii. 5 puncte 
b) Pentru $m=0$ , rezolvati ecuatia in $\left(\pi ,3\pi \right)$. 5 puncte
c) Determinati numerele reale $m$ pentru care ecuatia are solutii. 5 puncte 

2. Se considera prisma patrulatera regulata $ALGORITM$ cu $AL=a, AR=2a$, unde $a \in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$
 a) Aratati ca daca $d(M, AT)=1, atunci a<1,1.$ 5 puncte 

 b) Aflati valoarea reala a numarului a pentru care volumul prismei este egal cu $\left(14+10\sqrt{2}\right)cm$ . 5 puncte 
c) Fie $B\in \left(AR\right), C\in \left(IL\right)$astfel incat $BR=21C=a.$ Daca $\left(BCT\right)\cap MO=\left\{D\right\},$calculati $\sin \left(\sphericalangle DBC\right)$. 5 puncte 

Modelul de subiect prezentat este extras din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2023! Click AICI pentru detalii si comenzi.   

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pe multimea $M=[1,+\infty ),$ , se defineste legea de compozitie $x\circ y=1+{\log }_{2}x+{\log }_{2}y.$

a) Calculati $1\circ 2-2\circ 1.$ 5 puncte 
b) Aratati ca $2^4\circ \left(2^3\circ 2^4\right)=2^3.$ 5 puncte 

c) Aflati numerele naturale ${}^{ m} si {}^n$ pentru care $2^m\circ 2^n=2^{m+n}.$ 5 puncte

2. Se considera functia $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=\left|2x^2-x-1\right|.$

a) Stabiliti domeniul de derivabilitate al functiei. 5 puncte
b) Studiati monotonia functiei pe intervalul 5puncte
c) Calculati ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx.$ 5 puncte 

Vezi sugestiile de rezolvari mai jos. ⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Urmatoarea secventa face parte din programa scolara de matematica pentru clasa a VII-a.
Competente specifice si exemple de activitati de invatare

Vezi sugestiile de rezolvari mai jos. ⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇⬇

Nota: Continuturile vor fi abordate din perspectiva competentelor specifice. Activitatile de învatare sugerate ofera o imagine posibila privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competente.
(Programa scolara pentru disciplina Matematica, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informatiile din secventa de mai sus, în vederea evaluarii formarii/dezvoltarii
competentelor specifice precizate, elaborati o proba de evaluare la finalul unitatii de învatare
„Multimea numerelor reale”, care sa cuprinda 6 itemi: un item de completare, un item cu raspuns scurt, un item de tip pereche, un item de tip alegere multipla, un item de tip întrebare structurata si un item de tip rezolvare de probleme.
Nota. Pentru fiecare dintre itemii elaborati se puncteaza mentionarea competentei specifice evaluate, respectarea formatului itemului, elaborarea raspunsului asteptat (baremul de evaluare) si corectitudinea stiintifica a informatiei de specialitate.

${}^1$La definirea notiunii de modul se va insista pe reprezentarea lui pe axa numerelor si pe semnificatia sa ca distanta. 

Modelul de subiect prezentat este extras din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2023! Click AICI pentru detalii si comenzi.   

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SUGESTII DE REZOLVARI: Model de subiect pentru examenul de titularizare la matematica 2023

SUBIECTUL I

1. a) $m=\frac{1}{2}\Rightarrow$ecuatia devine: $\frac{1}{2}{\cos }^2 x-2\left(\frac{1}{2}-1\right)\cos x + \frac{1}{2}+1=0 \iff {\cos }^{2}x+2\cos x+3=0$
Notam $\cos x = t \Rightarrow t^2 + 2t + 3 = 0,$ecuatie pentru care $∆=2^2-4·1·3=4-12=-8<0$

$\Rightarrow t\notin \mathrm{ℝ}\Rightarrow \cos x \notin \mathrm{ℝ} fals.$
$\Rightarrow ecuatia nu are solutii$
1. b) $m=0\Rightarrow ecuatia devine: 0·{\cos }^2 x-2\left(0-1\right)\cos x+0+1=0 \iff 2\cos x+1=0$
$$\begin{gathered} \iff \cos x =-\frac{1}{2}\Rightarrow x=x=\pm arc\cos \left(-\frac{1}{2}\right)+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff \mathrm{x} =\pm \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi n},\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$
Dar $x\in \left(\mathrm{\pi },3\mathrm{\pi }\right)$

Pentru $n=0\Rightarrow x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<\mathrm{\pi } \mathrm{sau} \mathrm{x} =-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}<0<\mathrm{\pi }\left(1\right)$

Pentru $n=1\Rightarrow \mathrm{\pi }<\mathrm{x}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }=\frac{8\mathrm{\pi }}{3}<\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=3\mathrm{\pi } \mathrm{sau} \mathrm{x} =-\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}>\frac{3\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi },\frac{4\mathrm{\pi }}{3}<\frac{4\mathrm{\pi }}{3}<\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{\pi }\left(2\right)$

Pentru  $n\ge 2,\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2n\mathrm{\pi }\ge \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }>3\mathrm{\pi } \mathrm{iar} -\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{n}\ge -\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi }=\frac{10\mathrm{\pi }}{3}>\frac{9\mathrm{\pi }}{3}=3\mathrm{\pi }\left(3\right)$

Din (1), (2), (3) $\Rightarrow x\in \left\{\frac{4\mathrm{\pi }}{3},\frac{8\mathrm{\pi }}{3}\right\}$

1. c) Notam $\cos x =t \Rightarrow$ecuatia devine $m{t}^2-2\left(m-1\right)t+m+1=0$

Cum $\cos x \in \left[-1,1\right]$, ecuatia noastra va avea solutii daca pentru ecuatia in t avem cel putin o solutie in intervalul $\left[-1,1\right]$

Identificam cazurile:
Cazul 1. Avem solutia $t=-1,\Rightarrow m-2\left(m-1\right)\left(-1\right)+m+1=0\Rightarrow m+2m-2+m+1=0$

$\Rightarrow 4m=1\Rightarrow m=\frac{1}{4} \left(4\right)$

Cazul 2. Avem solutia $$\begin{gathered} t=1, \Rightarrow m-2\left(m-1\right)+m+1=0\Rightarrow m-2m+2+2+1=0 \\ \Rightarrow 0m=-3 Imposibil \left(5\right) \end{gathered}$$

Pentru celelalte cazuri avem nevoie de semnul lui $∆$

$$\begin{gathered} ∆=b^2-4ac={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-4·m·\left(m+1\right)=4m^2-8m+4-4m^2-4m=-12m+4 \\ ∆=0\iff -12m+4\iff -12m=-4\iff m=\frac{-12}{-4}\iff m=\frac{1}{3} \end{gathered}$$
Semnul lui $∆$este:

Pentru m = 0 nu avem ecuatie de gradul al II-lea. Cazul m=0 a fost analizat la subpunctul b), de unde deducem ca pentru m = 0 avem solutii. (6) 


Cazul 3. $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}∆=0 \\ -1<t_{v }=\frac{-b}{2a}=\frac{2\left(m-1\right)}{2m}<1 \\ m\ne 0\end{array}\right.\iff \iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ -1<\frac{2_1\left({\displaystyle \frac{1}{3}}-1\right)}{2_1·{\displaystyle \frac{1}{3}}}<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{3}\\ -1<-2<1\end{array}Fals \left(7\right)\right. \end{gathered}$$


Fie $f$:$\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ},f$$\left(t\right)=m{t}^2-2(m-1)t+m+1, m\in {\mathrm{ℝ}}^{*},$functia de gradul al II-lea, pentru care avem: 

$a=m,b=-2(m-1),c=m+1$

Iar 

$f\left(-1\right)=4m$$-1$
$f\left(1\right)=3$

Cazul 4. $m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ t_1<-1<t_2<1\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}mE\left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\left(0\right)\\ a·f (-1)<0\\ a·f \left(1\right)>0\\ -\frac{2}{2a}<1\end{array}\right.$$\iff \backslash \left\{0\right\}\left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right)\backslash \left\{0\right\}\\ m·\left(4m-1\right)<0\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{4}\right)\\ m·3>0\Rightarrow m\in (0,+\infty )\\ \frac{2_1(m-1)}{2_{1}m}<1\Rightarrow m\in (0,+\infty )\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{4}\right) \left(8\right)$



Pentru ca $\frac{m-1}{m}<1\iff 1-\frac{1}{m}<1\iff \frac{1}{m}>0\iff m>0\Rightarrow m\in (0.+\infty )$

Cazul 5. $$\begin{gathered} m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ -1<t_1<t_2<1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ a·f(-1)>0 \\ a·f\left(1\right) > 0 \\ -1<-\frac{b}{2a}<1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ m · \left(4m-1\right)>0 \\ m · 3 > 0 \\ -1 < \frac{m-1}{m}<1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ m \in \left(-\infty ,0\right) \cup \left(\frac{1}{4},+\infty \right) \\ m \in \left(0, +\infty \right) \\ m \in (0,\frac{1}{2})\end{array}\Rightarrow m \in \right.\left(\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right) \left(9\right) \end{gathered}$$


Pentru ca $$\begin{gathered} -1<\frac{m-1}{m}<1\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-m-m+1}{m}<0 \iff \frac{-2m+1}{m}<0\Rightarrow m\in \left(0,\frac{1}{2}\right)\\ 1-\frac{1}{m}<1\iff \frac{1}{m}>0\Rightarrow m>0\Rightarrow m\in \left(0.+\infty \right)\end{array}\right.\iff m\in \left(0,\frac{1}{2}\right), unde am \\ tinut cont ca \frac{-2m+1}{2} are semnul expresiei m \left(-2m+1\right) care se anuleaza, evident, in \frac{1}{2}. \end{gathered}$$


Cazul 6. $$\begin{gathered} m\ne 0 si \left\{\begin{array}{l}∆>0\\ -1<t_1<1<t_2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ f(-1)·f\left(1\right)<0 \\ -\frac{b}{2a}>-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right) \backslash \left\{0\right\}\\ \left(4m-1\right)·3<0\Rightarrow m\in \left(-\infty ,\frac{1}{4}\right) \\ \frac{m-1}{m}>-1\Rightarrow m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)\end{array}\right.\Rightarrow m \in (-\infty ,0) \left(10\right) \end{gathered}$$


Din $\left(4\right)-\left(10\right)\Rightarrow m\in \left(-\infty ,\frac{1}{3}\right).$

Vezi AICI continuarea SUGESTIILOR de REZOLVARI.  

Sugestiile de rezolvari prezentate sunt extrase din lucrarea Teste REZOLVATE de matematica pentru reusita la examenul de titularizare. Asigurati-va reusita la Examenul de titularizare din 2023! Click AICI pentru detalii si comenzi.  

 

 

Subiecte si barem corectare Titularizare Matematica 2022 - 13.07.2022